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我们在代码中一般把 π \pi π记作PI,PI = acos(-1)。因为我们都知道cos( π \pi π) = -1,所以PI = arccos(-1)。
acos()c^2 = a^2 + b^2 - 2acos(t);
计算:坐标分别直接相加减乘。
对应几何意义:平行四边形法则。内积也称作点积: a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ⋅ ∣ b ⃗ ∣ ⋅ c o s θ \vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot cos\theta a⋅b=∣a∣⋅∣b∣⋅cosθ
数学计算:就是x、y坐标分别相乘再相加即可。即若 a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) , b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \vec a = (x_1,y_1),\vec b = (x_2,y_2) a=(x1,y1),b=(x2,y2) 。则 a ⃗ ⋅ b ⃗ = x 1 × x 2 + y 1 × y 2 \vec a \cdot \vec b = x_1 \times x_2 + y_1 \times y_2 a⋅b=x1×x2+y1×y2 。内积得到的答案是一个数值。
几何意义: 向量A、B的内积就等于向量A在向量B上的投影长度乘向量B的长度。
代码实现
double dot(Point a,Point b){ return a.x * b.x + a.y * b.y;}
外积也称作叉积: a ⃗ × b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ⋅ ∣ b ⃗ ∣ ⋅ s i n θ \vec a \times \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot sin\theta a×b=∣a∣⋅∣b∣⋅sinθ
数学计算: a ⃗ × b ⃗ = x 1 × y 2 − x 2 × y 1 \vec a \times \vec b = x_1 \times y_2 - x_2 \times y_1 a×b=x1×y2−x2×y1
几何意义: 外积求出来的是以向量A和B为两边的三角形面积的两倍,也就是以向量A和B为两边的平行四边形面积。这里求出来的面积是个有向面积,是分正负的,与角度有关。
叉积的前后顺序是有要求的,交换顺序后的答案是相反的,因为他计算的是有向面积,他取的角度是前者逆时针旋转到后者的角度为 θ \theta θ,而不单纯的是二者的夹角。 u ⃗ × v ⃗ = − ( v ⃗ × u ⃗ ) \vec u \times \vec v = -(\vec v \times \vec u) u×v=−(v×u)
代码实现
double cross(Point a,Point b){ return a.x * b.y - b.x * a.y;}
∣ a ⃗ ∣ = a ⃗ ⋅ a ⃗ |\vec a| = \sqrt{\vec a \cdot \vec a} ∣a∣=a⋅a
double len(Point a){ return sqrt(dot(a,a));}
c o s θ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos\theta = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|} cosθ=∣a∣∣b∣a⋅b
double angle(Point a,Point b){ return acos(dot(a,b) / len(a) / len(b));}
S 平 行 四 边 形 = a ⃗ × b ⃗ S_{平行四边形} = \vec a \times \vec b S平行四边形=a×b
double area(Point a,Point b){ return cross(a,b);}
记原向量A = (x,y),旋转后 θ \theta θ角度后的向量是(x’,y’)
则有 ( x ′ , y ′ ) = ( x , y ) [ c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ] (x',y') = (x,y)\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] (x′,y′)=(x,y)[cosθsinθ−sinθcosθ] 在计算机上记 θ \theta θ角的大小为anglePoint rotate(Point a,double angle){ return Point(a.x * cos(angle) + a.y * sin(angle) , -a.x * sin(angle) + a.y * cos(angle));}
①一般式:ax + by + c = 0 //可以处理所有直线②斜截式:y = kx + b //较为直观,但无法处理竖直的直线,需特判竖直线③点向式:p0 + tv //最常见,这里的p0是直线上的一点,v是平行直线的一个向量。每一个t对应直线上的一个点
随意取直线上一个非零向量(或两点),做一个向量起点到该点的向量,判断这两个向量叉积是否为0。
为0说明其组成的平行四边形面积是0,说明点在直线上;不为0说明点不在直线上。bool on_line(Point p,Point a,Point b){ Vector v = b - a,u = p - a; if(cross(v,u) == 0) return 1; else return 0;}
首先先判断ab向量和ap向量的叉积是否为0,和直线一样先判断是否共线;然后就要判断p在线段上还是在线段两边,这里我们只需要判断ap向量和bp向量的方向即可,只要这两向量是反向的,就说明p在ab中间,在线段上,这通过两向量的点积来判断,若点积小于等于0,说明是反向的,在线段上。
bool on_segment(Point p,Point a,Point b){ Vector v = b - a,u = p - a,l = p - b; return (cross(v,u) == 0 && dot(u,l) <= 0);}
若cross(v,w) == 0,则两直线平行或重合,否则可求交点(直线一般用点向式表示)
Point intersection(Point p,Vector v,Point q,Vector w) //点向式表示直线{ Vector u = p - q; double t = cross(w,u) / cross(v,w); return { p.first+t*v.first , p.second+t*v.second};}
证明:在这里
double distance_line(Point p,Point a,Point b){ Vector v1 = b - a,v2 = p - a; return fabs(cross(v1,v2) / len(v1));}
这里是已知直线上任意两点a、b,求p到直线的距离
证明:在这里double distance_segment(Point p,Point a,Point b){ if(a == b) return len(p-a); Vector v1 = b - a,v2 = p - a,v3 = p - b; if(dot(v1,v2) < 0) return len(v2); if(dot(v1,v3) > 0) return len(v3); return distance_line(p,a,b);}
证明:在这里。
Point projection(Point p,Point a,Point b){ Vector v = b - a,u = p - a; return a + v * (dot(v,u) / dot(v,v));}
证明:在这里
已知两线段 a 1 a 2 a_1a_2 a1a2和 b 1 b 2 b_1b_2 b1b2,判断是否相交
bool segment_intersection(Point a1,Point a2,Point b1,Point b2){ double c1 = cross(a2 - a1,b1 - a1), c2 = cross(a2 - a1,b2 - a1); double c3 = cross(b2 - b1,a2 - b1), c4 = cross(b2 - b1,a1 - b1); return (c1 * c2 <= 0 && c3 * c4 <= 0);}
证明:在这里
求三角形面积分为两种情况,若给的是顶点坐标,就用叉积法来求,若给的是三边长,就用海伦公式来求。
已知三边长为a、b、c。
p = (a+b+c) / 2;s = sqrt(p * (p-a) * (p-b) * (p-c));
外接圆圆心。三边中垂线交点,外心到三顶点的距离相等。
内接圆圆心。三条角平分线交点,内心到三边的距离相等。
三条高的交点
三条中线的交点
(重心的两个性质:1、他是到三角形三顶点距离的平方和最小的点。2、他也是三角形内部到三边距离之积最大的点)凸多边形是指过多边形的任意一边做一条直线,如果其他各个顶点都在这条直线的同侧,则把这个多边形叫做凸多边形
1、任意凸多边形的外角和均为360°
2、任意凸多边形的内角和为(n-2)180°任取平面上一点P,然后逆时针依次枚举多边形的每条边,用点P到该边起点 的向量叉乘该边,将所有答案相加就是该多边形的面积的两倍,如下图:
如图: S 平 行 四 边 形 A B C D = P A ⃗ × A B ⃗ + P B ⃗ × B C ⃗ + P C ⃗ × C D ⃗ + P D ⃗ × D A ⃗ 2 S_{平行四边形ABCD} = \frac{\vec {PA} \times \vec{AB} + \vec{PB} \times \vec{BC} + \vec{PC} \times \vec{CD} + \vec{PD} \times \vec{DA}}{2} S平行四边形ABCD=2PA×AB+PB×BC+PC×CD+PD×DA我们一般选取多边形的一个顶点p[0]作为定点,便于计算,因为叉积得到的是有向面积,所以红色的是被减去的,蓝色的是加上的,最后枚举完所有边后,得到的有向面积就是多边形的面积(可以自己画图试一下)。
//求面积的方法有很多,这里给两个方法//方法一:枚举每个点,这里取原点o作为定点方便计算double polygon_area(Point p[],int n){ double s = 0; for(int i = 1;i < n;i++) s += cross(p[i],p[i-1]); //cross是计算叉积 s += cross(p[n-1],p[0]); return s / 2;}//方法二:枚举多边形的每条边,如上图double polygon_area(Point p[],int n){ double s = 0; for(int i = 1;i < n-1;i++) s += cross(p[i] - p[0],p[i+1] - p[i]); return s / 2;}
①射线法:从该点出发,任意做一条和边不平行的射线,若射线和多边形交点个数是奇数,说明在内部;若为偶数,说明在外部。
②转角法:从该点依次向多边形每个顶点做向量,然后判断转过的角度是不是360°,若是,则在内部;否则在外部。 ③(若该多边形是凸多边形)则可判断该点是不是在所有边的左侧即可。可以用向量的叉积判断左侧。皮克定理是计算格点中的多边形面积公式,格点是指所有点坐标都为整数的点。
S = a + b 2 − 1 S = a + \frac b 2 - 1 S=a+2b−1 这里的a是多边形内部格点的个数,b是多边形边上格点的个数。三维向量的表示:(x,y,z)
三维向量的加减法、数乘运算、点积运算,都与二维的相同,直接套。 三维向量的模 ∣ V ∣ = s q r t ( x × x + y × y + z × z ) |V| = sqrt(x\times x + y\times y + z\times z) ∣V∣=sqrt(x×x+y×y+z×z)几何意义:叉积的结果是一个向量,点积的结果是一个数。 a ⃗ \vec a a和 b ⃗ \vec b b叉积所得到的向量是既垂直于 a ⃗ \vec a a也垂直于 b ⃗ \vec b b的一个向量。
方向:右手定则。 代数计算: A × B = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 , x 2 z 1 − x 1 z 2 , x 1 y 2 − x 2 y 1 ) A\times B=(y_1z_2-y_2z_1,x_2z_1-x_1z_2,x_1y_2-x_2y_1) A×B=(y1z2−y2z1,x2z1−x1z2,x1y2−x2y1)根据叉积的性质,在平面里找两个不共线的向量,求他俩的叉积就是平面的法向量。
先求得平面的法向量 n ⃗ \vec n n,然后在平面里任取一点p,判断向量px和法向量n的点积是否为0,为0说明点x在平面里,否则不在。
点积为0的话说明px在法向量上的投影为0,说明p和x都在平面里.先求得平面的法向量 n ⃗ \vec n n,然后在平面里任取一点p,求向量px在法向量n上的投影即为x到平面的距离。
投影的求法: D = p x ⃗ ⋅ n ⃗ ∣ n ⃗ ∣ D = \frac{\vec {px} \cdot \vec n}{|\vec n|} D=∣n∣px⋅n在多面体中有一个定理:多面体的 顶点数 - 棱长数 + 表面数 = 2
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